exercicios propostos

1. (Vunesp) Uma rampa lisa, de 20m de comprimento,

faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma
pessoa que sobe esta rampa inteira eleva-se
verticalmente:
a) 17 m
b) 10 m
c) 15 m
d) 5 m

2. No triangulo retângulo, temos cos α = 12/13,

então o sen α será:

a) 13/12
b) 13/5
c) 5/13
d) 5/12

3. Um garoto está empinando uma pipa. A linha da pipa

forma um ângulo de 30o com o chão. Se a altura da pipa
forh = 18 m, o comprimento da linha que o garoto está
usando mede:
a) 10,4 m
b) 20,8 m
c) 36,0 m
d) 40,0 m

4. Podemos afirmar que sen 210° é igual a:

a) sen 30° e também ao cos 30°
b) – sen 30° e também ao – cos60°
c) – sen 60° e também ao – cos 30º
d) sen60º e também ao cos 60°

5. Um cabo de 15 metros deverá sustentar uma torre

de 9 metros. Para isso o cabo deverá ficar esticado e preso no solo. A distância da base da torre até onde o cabo ficou preso no solo deverá ser igual a:

a) 9 metros

b) 12 metros

c) 15 metros

d) 24 metros

A trigonometria do triângulo retângulo, observamos alguns ângulos notáveis, esses são 30°, 45°, 60° e 90°. Para cada ângulo há uma relação diferenciada com senos, cossenos e tangentes. falaremos de cada um especificamente.

triângulo retângulo:

No triângulo retângulo observamos três vértices, e um deles o ângulo é de 90°, dois dos lados são os catetos e o terceiro é a hipotenusa. temos uma equação que relaciona os lados do triângulo retângulo, esta é o teorema de pitágoras.

c²+c²=h².

Arco trigonométrico

No circulo trigonométrico há 360° para cada ângulo em graus, há um ângulo respectivo em radianos, um rad vale 180°, logo todo o circulo trigonométrico vale 2radianos.

para cada ângulo, há um respectivo rad. Ex:

30°= /6 ; 90°=/2; 135°=3/4.

Mais exemplos na figura ao lado.

A partir do circulo trigonométrico, ja podermos observar a relação métrica entre os ângulos, a exemplo do ângulo de 45°.

Com um ângulo de 45°, o seno vale √2/2 e o cosseno de 45° vale √2/2.

Com um ângulo de 30°, o seno vale 1/2; e o cosseno vale √3/2.

Com essas relações podemos calcular medidas entre os lados do triângulo, com essas relações podemos observar distancias desconhecidas, logo as aplicações são infinitas.

podemos observar as relações entre esses ângulos notáveis. Essas relações existem com os ângulos de 30°, 45°, 60° e 90°.

Como mostramos na figura ao lado, há relações entre os ângulos notáveis e as medidas de seus lados como veremos logo a seguir.

A seguinte relação entre ângulos, senos, cossenos e tangentes é o que nós possibilita calcular as medidas:

Senø= C. oposto/ hipotenusa.

cossenoø=C.adjacente/hipotenusa

tangenteø=C.oposto/C.adjacente.

Ex:

sen30°=C.oposto/hipotenusa, logo, sen30°=1/2

Ex:

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa vale 40m, e o cateto oposto tem 30°, ache o valor de seno e a medida do cateto oposto.

temos uma relação entre esse valores.

senø=C.oposto/hipotenusa; sen30°=1/2, hipotenusa=40 e nós falta o C.oposto

logo com esses dado podemos fazer a seguinte relação,

1/2=C.oposto/40. Fazendo produto do meio igual a produto dos extremos, chegaremos na seguinte razão.

2x=40, isolando-se o x, teremos; x=40/2 ; logo x=20' lembrando que o cateto oposto toma forma de x neste problema.

resposta. o senø=1/2 e a medida do cateto oposto é 20 m.

Hístoria da trigonometria

A nossa palavra moderna seno é derivada do latim sinus, que significa "baía" ou "dobra", a partir de uma tradução errônea (via árabe) do sânscrito jiva, e sua variante jya. Aryabhata usou o termo ardha-jiva ("meia-corda"), que foi abreviada para jiva e então transliterada pelos árabes como jiba (جب). Tradutores europeus como Robert of Chester e Gherardo of Cremona na Toledo do século XII confundiram jiba com jaib (جب), que significa "baía", provavelmente porque jiba (جب) e jaib (جب) são escritas da mesma forma na escrita arábica (esse sistema de escrita, em uma de suas formas, não fornece ao leitor informações completas sobre as vogais). As palavras "minuto" e "segundo" são derivadas das frases latinas partes minutae primae e partes minutae secundae. ck

Desenvolvimento
A trigonometria não é obra de um só homem ou nação. A sua história tem milhares de anos e faz parte de todas as grandes civilizações. Deve ser notado que, desde os tempos de Hiparco até os tempos modernos, não havia tal coisa como "razão" trigonométrica. Ao invés disso, os gregos e depois os hindus e os muçulmanos usaram linhas trigonométricas. Essas linhas primeiro tomaram a forma de cordas e mais tarde meias cordas, ou senos. Essas cordas e linhas de senos então seriam associadas a valores numéricos, possivelmente aproximações e listados em tabelas trigonométricas.

Trigonometria antiga
Os antigos egípcios e babilônicos conheciam teoremas sobre as razões dos lados de triângulos semelhantes por muitos anos. As sociedades pré-helênicas não possuíam o conceito de medida de um ângulo e, consequentemente, eram estudados os lados do triângulo, um campo de estudo que seria melhor chamado de "trilaterometria".

Com base na interpretação da tábua cuneiforme Plimpton 322 (cerca de 1900 a.C.), tem-se afirmado que os babilônicos antigos tinham uma tábua de secantes. No entanto, existe muito debate sobre se ela é uma tabela de trinas pitagóricas, soluções de equações quadráticas ou uma tábua trigonométrica.